進位、布林邏輯與數位電路：從位元到狀態
本頁為依教材與考古題整理的原創摘要；考古題答案經技術覆核，但不是官方答案。
考古題證據邊界： 進位與位元運算、布林代數、數位電路在 canonical metadata 皆為 0 題 direct primary refs；本課是 reviewed-source-backed foundational coverage，pastPaperRefs 保持空陣列，不以相鄰題冒充直接證據。
第一次接觸也沒關係
這堂先懂這些詞
先記住白話意思，不必急著背英文。看到正文時，再把正式名稱接回來。
布林邏輯
也會看到：Boolean logic、AND、OR、NOT只用真與假來組合條件與決策的邏輯系統。
- 生活例子：
- 門禁規則可以是「有卡 AND 密碼正確」才開門。
- 別搞混：
- AND、OR 是邏輯關係，不等同日常語言中模糊的「和／或」。
組合與循序電路
也會看到：combinational circuit、sequential circuit組合電路只看當下輸入；循序電路還會受先前保存的狀態影響。
- 生活例子：
- 自動門感應器像只看當下輸入，電梯控制則必須記得目前樓層。
- 別搞混：
- 有多個邏輯閘不代表就是循序電路；是否保存狀態才是關鍵。
多工器與正反器
也會看到：multiplexer、MUX、flip-flop、adderAdder 做二進位加法，MUX 從多個輸入選一個，flip-flop 則保存一個位元狀態。
- 生活例子：
- 像計算機負責相加、轉接器選一條訊號、開關記住開或關。
- 別搞混：
- MUX 本身不負責長期儲存，flip-flop 也不是一般軟體變數。
進位與位元運算
也會看到：binary、hexadecimal、bitwise operation、二進位、十六進位二進位用 0、1 表示數值，十六進位用 0 到 F 縮寫位元；位元運算則逐位套用 AND、OR、NOT 等規則。
- 生活例子：
- 像四個電燈開關可用 0101 記錄狀態，也可縮寫成十六進位的 5。
- 別搞混：
- 進位轉換只改寫法，不改數值；位元 AND 也不同於一般算術乘法。
暫存器
也會看到：register、CPU registerCPU 內極小但極快、用來暫放眼前資料與狀態的儲存位置。
- 生活例子：
- 像廚師手邊的小碟子，只放當下馬上要用的材料。
- 別搞混：
- 不是一般記憶體，也不是硬碟；容量小得多但速度快。
從二進位與十六進位轉換出發，用真值表與 De Morgan 定律化簡邏輯，再把 gates 組合為 adder、multiplexer 與具狀態的 flip-flop。本範圍為完整主題樹所需的基礎課，不宣稱是考古高頻。
先抓住這幾件事
- 在二進位、十進位與十六進位間轉換，並執行基本 bitwise operations
- 由真值表計算 Boolean expression，並套用 De Morgan 定律
- 區分 combinational circuit 與 sequential circuit
- 說明 adder、multiplexer、flip-flop 與 register 的核心功能
先想像這個場景
舞台燈光控制台
一個舞台用開關編碼燈光模式：控制台把模式號碼寫成位元，透過邏輯門決定哪些燈亮，並用鎖存狀態記住上一個場景。
先別急著往下看，花十秒想一想：
若兩個安全開關都為 1 才允許主燈亮，應用哪種邏輯？若還要記住上一次是否開啟，只靠同一個邏輯門夠嗎？
把故事換成電腦語言
| 生活中的角色 | 對應到 | 技術概念 |
|---|---|---|
| 用 0 與 1 編碼舞台模式號碼 | 二進位位元與進位轉換 | |
| 兩個安全開關都通過才亮燈 | AND 與 Boolean truth table | |
| 從多組輸入挑選一組送到主燈 | Multiplexer 依 select bits 選輸入 | |
| 控制台記住上一個場景 | Flip-flop 儲存一個狀態位元 | |
| 多個狀態位元一起保留模式碼 | Register 由多個 storage elements 組成 |
題目出現這些字，先想到
- 進位轉換先依位階展開；十六進位每一碼剛好對應 4 bits。
- NOT(A AND B)=NOT A OR NOT B；De Morgan 會同時反轉運算子與 operands。
- Combinational output 只看當下輸入；sequential circuit 還受先前狀態影響。
- Adder 做加法，multiplexer 做選擇，flip-flop 儲存 1 bit，register 儲存多 bits。
1.進位是位階權重
不同進位制（number system）的核心概念是「位階權重」— 每個位置的值等於該位置的 digit 乘以 base 的位置次方。 【常見進位制】 • Binary（二進位, base 2）：digit 只有 0 和 1。電腦內部使用。 • Octal（八進位, base 8）：digit 0-7。Unix 檔案權限常用（如 755）。 • Decimal（十進位, base 10）：digit 0-9。人類日常使用。 • Hexadecimal（十六進位, base 16）：digit 0-9, A-F（A=10, B=11, ..., F=15）。記憶體位址、色碼常用。 【轉換方法】 十進位 → 二進位：反覆除以 2，取餘數，由下到上排列。 例如：13₁₀ → 13÷2=6...1, 6÷2=3...0, 3÷2=1...1, 1÷2=0...1 → 1101₂ 二進位 → 十進位：各位元乘以 2 的位置次方後加總。 例如：1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8+4+0+1 = 13₁₀ 二進位 ↔ 十六進位：每 4 個 bits 對應一個 hex digit。 例如：1010 1111₂ = AF₁₆（1010=A=10, 1111=F=15） 二進位 ↔ 八進位：每 3 個 bits 對應一個 octal digit。 例如：101 111₂ = 57₈（101=5, 111=7） 【二進位的算術】 加法：0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10（進位）。 例如：1011 + 0101 = 10000（11+5=16） 【負數表示法】 • Sign-magnitude：最高位元表示正負（0=正, 1=負），其餘表示大小。問題：有 +0 和 -0 兩種零。 • 1's complement：把每個 bit 反轉。問題：仍有兩種零。 • 2's complement：反轉所有 bit 後加 1。現代電腦的標準。只有一種零，且加法不需要特殊處理正負號。 例如：-5 的 8-bit 2's complement = ~00000101 + 1 = 11111010 + 1 = 11111011 【考試連結】(1) 進位轉換是最常考的計算題。(2) 2's complement 表示法及其範圍：n bits 可表示 -2^(n-1) 到 2^(n-1)-1。(3) 最高位元 1 在 2's complement 中代表負數，不是 sign-magnitude 的正負號。
- 101101₂=45₁₀
- 2D₁₆=0010 1101₂
- AND 可清除位元，OR 可設定位元，XOR 可判斷不同
2.真值表與布林定律
布林代數（Boolean algebra）是數位電路設計的數學基礎。變數只有兩個值：0（false）和 1（true）。三種基本運算對應三種基本邏輯閘（logic gate）： 【三種基本邏輯閘】 • AND（與閘）：A AND B = A·B。只有兩個輸入都是 1 時輸出才是 1。 真值表：00→0, 01→0, 10→0, 11→1 • OR（或閘）：A OR B = A+B。只要有一個輸入是 1 輸出就是 1。 真值表：00→0, 01→1, 10→1, 11→1 • NOT（非閘/反閘）：NOT A = A'。輸入反轉。 真值表：0→1, 1→0 衍生邏輯閘： • NAND = NOT AND：AND 的輸出再反轉。是 universal gate（可以用 NAND 組合出所有其他閘）。 • NOR = NOT OR：OR 的輸出再反轉。也是 universal gate。 • XOR（互斥或）：兩個輸入不同時輸出 1，相同時輸出 0。 真值表：00→0, 01→1, 10→1, 11→0 【布林定律】 • 交換律：A·B = B·A, A+B = B+A • 結合律：(A·B)·C = A·(B·C) • 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C, A+(B·C) = (A+B)·(A+C) • De Morgan's Theorem：(A·B)' = A'+B', (A+B)' = A'·B' 白話：AND 取反 = 各取反再 OR；OR 取反 = 各取反再 AND。 • 互補律：A·A' = 0, A+A' = 1 • 吸收律：A + A·B = A, A·(A+B) = A 【考試連結】(1) 用真值表驗證布林等式是最穩的方法。(2) De Morgan's theorem 是化簡布林表達式的關鍵工具。(3) NAND 和 NOR 的 universal gate 性質。(4) XOR 在考古題中常出現在 parity check 和加法器電路中。
- A AND 1=A
- A OR 0=A
- A XOR A=0
- De Morgan 定律對否定一整組條件特別有用
3.組合電路做即時計算
組合電路（combinational circuit）的輸出完全由當前的輸入決定，沒有記憶功能。給定相同的輸入，永遠得到相同的輸出。 【常見組合電路】 • Half Adder（半加器）：兩個 1-bit 輸入相加，產生 Sum 和 Carry。 Sum = A XOR B, Carry = A AND B。 例如：A=1, B=1 → Sum=0, Carry=1（等於 10₂ = 2₁₀） • Full Adder（全加器）：三個 1-bit 輸入（A, B, Carry-in）相加。 Sum = A XOR B XOR Cin, Cout = (A AND B) OR (Cin AND (A XOR B))。 多個 full adder 串接可以做 n-bit 加法（ripple-carry adder）。 • Multiplexer (MUX)：多個輸入中選擇一個輸出。n 條選擇線可以從 2ⁿ 個輸入中選一個。像是一個「資料選擇器」。4:1 MUX 有 4 個資料輸入、2 條選擇線、1 個輸出。 • Decoder：n 個輸入、2ⁿ 個輸出。某一時刻只有一個輸出是 1（由輸入的二進位值決定哪一個）。例如 2:4 decoder：輸入 01 → 輸出 Y1=1，其餘為 0。記憶體的位址解碼就用 decoder。 • Encoder：Decoder 的反向 — 2ⁿ 個輸入、n 個輸出。把「哪一條輸入是 1」編碼成二進位數。 【布林表達式 → 電路】任何布林表達式都可以用 AND、OR、NOT 閘組合實現。兩種標準形式： • SOP（Sum of Products）：多個 AND 項用 OR 連接。每個 AND 項叫 minterm。 • POS（Product of Sums）：多個 OR 項用 AND 連接。每個 OR 項叫 maxterm。 Karnaugh Map（K-map）是化簡布林表達式的視覺化工具，把相鄰的 minterm 合併以減少邏輯閘數量。 【考試連結】(1) Half adder 和 full adder 的差異（有沒有 carry-in）。(2) MUX 和 decoder 的功能。(3) 給定布林表達式畫出電路圖，或反過來。
- Sum 可用 XOR 表示
- Carry 與 AND 有關
- Multiplexer 不負責長期儲存狀態
4.時序電路加入狀態
時序電路（sequential circuit）的輸出不只取決於當前輸入，還取決於電路的內部狀態（記憶）。組合電路 + 記憶元件 = 時序電路。 【Flip-Flop（正反器）】最基本的 1-bit 記憶元件。可以儲存一個 bit（0 或 1），在 clock signal 的觸發下更新狀態。 常見類型： • SR Flip-Flop：Set (S=1) → 輸出 Q=1。Reset (R=1) → 輸出 Q=0。S=R=1 是無效狀態（禁止）。 • D Flip-Flop：在 clock 觸發時，輸出 Q = 輸入 D 的值。最常用、最直覺。 • JK Flip-Flop：J=K=1 時 toggle（翻轉）。解決了 SR flip-flop 的無效狀態問題。 • T Flip-Flop：T=1 時 toggle，T=0 時保持。常用於計數器。 【Register（暫存器）】多個 flip-flop 並聯，儲存多 bit 資料。一個 n-bit register 由 n 個 D flip-flop 組成。CPU 的 registers 就是這樣實現的。 【Counter（計數器）】一串 flip-flop 連接起來，每個 clock pulse 計數加 1。n-bit counter 可以計數 0 到 2ⁿ-1。用途：program counter（指令計數器）、timer。 【Finite State Machine（有限狀態機, FSM）】由有限個狀態和狀態間的轉換組成。每個 clock cycle 根據當前狀態和輸入決定下一個狀態和輸出。 兩種類型： • Mealy machine：輸出取決於當前狀態 + 輸入。 • Moore machine：輸出只取決於當前狀態。 FSM 在考古題中通常以「狀態圖」的形式出現。 【考試連結】(1) 組合電路 vs 時序電路的差異：有沒有記憶/狀態。(2) D flip-flop 的功能（最常考）。(3) 時序電路需要 clock signal 來同步狀態更新。(4) Register 是 flip-flop 的擴展。
- Sequential output 取決於當前輸入與現有狀態
- Register 與 main memory 層級不可混為同一概念
一起拆題目
範例 1：將 3A₁₆ 轉成二進位與十進位。
- 3 對應 0011，A 對應 1010。
- 二進位為 00111010。
- 十進位為 3×16+10=58。
所以答案是：3A₁₆=00111010₂=58₁₀。
範例 2：計算 NOT(A AND B) 在 A=1、B=0 時的值，並用 De Morgan 驗證。
- A AND B=0。
- NOT 0=1。
- NOT A OR NOT B=0 OR 1=1。
所以答案是：兩種寫法均得 1，功能等價。
這裡最容易選錯
- 把十六進位 A 當作十進位 1
- 只反轉 De Morgan 的運算子卻沒否定 operands
- 把 multiplexer 當成記憶元件
- 認為 sequential circuit 輸出只看當前輸入
換你快速判斷
先在心中作答，再展開答案。答不出來時，回頭找本課的對照關係。
1十六進位與二進位為何可四位一組轉換？
因為 16=2^4，一個十六進位數碼正好表示 4 bits 的 0–15。
例如 A₁₆=1010₂，2D₁₆=0010 1101₂。
2AND、OR、XOR 在 bit mask 中各常用來做什麼？
AND 保留/清除指定位；OR 設定位；XOR 切換位或檢查不同。
運算是逐 bit 套用，需先對齊位數。
3De Morgan 定律如何否定 A AND B？
NOT(A AND B)=NOT A OR NOT B。
否定分配進去時，AND/OR 也要互換。
4真值表能證明兩個 Boolean expressions 等價嗎？
可以；若所有輸入組合的輸出都相同，兩者功能等價。
n 個 Boolean inputs 有 2^n 組組合。
5Combinational 與 sequential circuit 的核心差異？
Combinational output 只由當前輸入決定；sequential output 還受已儲存狀態影響。
Flip-flop/register 是常見狀態元件。
6Adder、multiplexer、flip-flop 各自的主要功能？
Adder 加法；multiplexer 選擇一路輸入；flip-flop 儲存 1 bit。
三者分別對應算術、選擇與狀態。
再到題庫找辨識線索
這個基礎主題在現有考古題中沒有可確認的直接題，所以不會為了湊數量而硬連題目。可回到完整題庫，練習辨識它與相鄰概念的關係。
瀏覽資訊科技概論題庫參考來源
- Computer Science: An Overview, 13th Edition — J. Glenn Brookshear