座位分布是否真的互不相關
題面來自台大官方試卷；解答與逐項自評標準（rubric）為本站技術覆核的非官方內容，申論與推導一律採自評。
第一次接觸也沒關係
這堂先懂這些詞
先記住白話意思，不必急著背英文。看到正文時，再把正式名稱接回來。
類別變數與列聯表
也會看到：categorical variable、contingency table、cross-tabulation、r×c table類別變數把人或物分組，列聯表則用列與欄記錄兩個類別變數各種組合的人數；r×c 讀作「r 乘 c 的表」。
- 生活例子：
- 用列表示早中晚時段、欄表示飲料種類，每格填入購買人數就是一張列聯表。
- 別搞混：
- 格子應放計數而非連續測量值；列聯表呈現關聯，不會自動說明原因。
觀察次數與期望次數
也會看到：observed count、expected count、O、E、row total×column total/grand totalO 讀作「觀察次數」，是實際每格人數；E 讀作「期望次數」，是在兩變數獨立時由列合計乘欄合計再除總合計算出的每格預期人數。
- 生活例子：
- 實際晚間買咖啡有 30 人是 O，若時段與飲料無關時按整體比例應有 22 人則是 E。
- 別搞混：
- 這裡的 E 是期望次數，不是前面 E(X) 的期望值運算符；卡方公式的分母必須用 E。
皮爾森卡方統計量
也會看到：Pearson chi-square、χ²、chi-square statistic、Σ(O-E)²/Eχ² 讀作「chi-square／卡方」，把每格觀察與期望的差平方後除以期望再全部加總，即 Σ(O-E)²/E 讀作「所有格的 O 減 E 平方除以 E 之和」。
- 生活例子：
- 若多個時段與飲料格子的實際人數都明顯偏離獨立時預期人數，χ² 就會變大。
- 別搞混：
- χ² 不會是負數，數值大小要搭配自由度或 p 值判斷，不能用固定門檻套所有表格。
卡方檢定自由度
也會看到：degrees of freedom、df、df=(r-1)(c-1)自由度 df 讀作「d-f」，表示固定列欄合計後還能獨立變動的格子資訊量；df=(r-1)(c-1) 讀作「r 減一乘 c 減一」。
- 生活例子：
- 2×3 列聯表的自由度是 (2-1)(3-1)=2。
- 別搞混：
- 自由度不是格子總數 rc，也不是樣本數；列欄合計帶來的限制必須扣除。
臨界值與獨立性結論
也會看到：critical value、臨界值、independence test、獨立性、reject independence、association、causation臨界值是在指定 α 與自由度下的拒絕界線，若 χ² 超過它就拒絕「兩類別變數獨立」的 H₀，只能說資料顯示有關聯。
- 生活例子：
- χ²=6.42 高於 df=2、α=.05 的臨界值 5.99，表示時段與商品選擇的分布不像完全無關。
- 別搞混：
- 拒絕獨立不代表一個變數造成另一個；樣本不獨立、期望次數太小或抽樣偏誤也可能讓結論失真。
逐項自評標準
也會看到：rubric、評分規準把完整推導拆成可以逐步核對的要點，幫你找到漏掉的條件或計算步驟。
- 生活例子：
- 像算完帳後依序檢查金額、單位、公式與最後結論。
- 別搞混：
- 它不是官方配分，也不會把合理但不同的推導方式判成錯誤。
用 115-5 從列聯表建立期望次數、卡方統計量、自由度與檢定結論。
先抓住這幾件事
- 由列聯表的邊際合計計算每一格的期望次數
- 計算 Pearson χ² 統計量 = Σ(O-E)²/E
- 正確算出自由度 df = (r-1)(c-1) 並解釋為什麼不是 r·c
- 以臨界值或 p 值作決策，並正確敘述「關聯」而非「因果」
先想像這個場景
商店時段與商品選擇
店長想知道商品選擇是否與到店時段有關，先算兩者若獨立時每格應有多少人。
先別急著套公式，花十秒想一想：
觀察格與期望格差多少，才值得懷疑兩者有關？
把故事換成統計語言
| 生活中的角色 | 對應到 | 統計概念 |
|---|---|---|
| 實際每格人數 | observed count O | |
| 若互不相關應有的人數 | expected count E | |
| 標準化後累積差距 | Σ(O-E)²/E | |
| 表格可自由變動程度 | df=(r-1)(c-1) |
題目出現這些字，先想到
- contingency table
- expected count
- χ²
- (r-1)(c-1)
1.列聯表與獨立性假設
列聯表 (contingency table) 是把兩個類別變數交叉分類的計數表。r 列 × c 欄代表第一個變數有 r 個類別、第二個有 c 個類別。每格的數字是落在該組合的觀察次數 (observed count, O)。 卡方獨立性檢定的假設： H0: 兩個變數獨立（知道其中一個不影響另一個的分佈） H1: 兩個變數不獨立（存在關聯） 【範例】115 年考題：某教室有 200 名學生，調查座位偏好（前排/中間/後排）和年級（大一/大二/大三/大四）。 大一 大二 大三 大四 合計 前排 30 20 15 10 75 中間 25 30 20 25 100 後排 10 10 5 0 25 合計 65 60 40 35 200 問：座位偏好和年級是否有關？ 注意：卡方檢定只測「是否有關聯」，不測「關聯的方向或強度」。如果拒絕 H0，你可以說「座位偏好和年級有顯著關聯」，但不能說「年級導致座位偏好改變」。
- 列聯表：r×c 的計數表，每格是觀察次數 O
- H0: 兩變數獨立，H1: 兩變數不獨立（有關聯）
- 卡方檢定是右尾檢定：χ² 越大，越不像獨立
- 前提假設：隨機抽樣、觀測值獨立、每格期望次數 ≥ 5（粗略規則）
- 結論只能說「有/沒有關聯」，不能說「因果」
2.期望次數：如果獨立的話每格應該有多少人
如果兩變數真的獨立，每格的期望次數 E 可以用邊際合計算出： E_ij = (第 i 列合計 × 第 j 欄合計) / 總數 = (R_i × C_j) / N 直覺：如果獨立，落在第 i 列的比例是 R_i/N，落在第 j 欄的比例是 C_j/N，兩個同時成立的比例就是乘積 (R_i/N)·(C_j/N)，乘以總數 N 就得 E_ij = R_i·C_j/N。 【範例】E(前排,大一) = 75·65/200 = 4875/200 = 24.375 E(中間,大一) = 100·65/200 = 6500/200 = 32.5 E(後排,大一) = 25·65/200 = 1625/200 = 8.125 驗算：24.375+32.5+8.125 = 65 = 大一合計 ✓（每欄的期望值加起來要等於欄合計） 完整期望值表： 大一 大二 大三 大四 前排 24.375 22.5 15.0 13.125 中間 32.5 30.0 20.0 17.5 後排 8.125 7.5 5.0 4.375 注意：E(後排,大四) = 25·35/200 = 4.375 < 5。有些教材建議期望次數都要 ≥ 5，否則卡方近似不夠好。如果有格子 E < 5，可能需要合併類別或用 Fisher exact test。
- E_ij = (R_i × C_j) / N，每格獨立計算
- 直覺：獨立 = 行比例 × 列比例 × 總數
- 每列的期望值加總 = 列合計，每欄加總 = 欄合計（自行驗算）
- 粗略規則：所有 E ≥ 5；如果有 E < 5 需要考慮合併或改用其他方法
- 期望值通常不是整數——這是正常的，不要四捨五入後再算 χ²
3.卡方統計量與自由度
Pearson 卡方統計量：χ² = Σ_所有格 (O_ij - E_ij)² / E_ij 每一格計算「觀察值和期望值的偏差」，平方後除以期望值（標準化），再全部加總。χ² 越大表示觀察分佈和獨立假設下的期望分佈差異越大。 自由度 df = (r-1)(c-1)。 為什麼不是 r·c？因為有邊際限制：固定了行合計和列合計後，表中有些格子的值可以自由變動，有些被決定了。r 行的行合計給 r 個限制（但和總數重複所以只有 r-1 個獨立限制），c 列同理。所以自由度 = r·c-1-(r-1)-(c-1) = (r-1)(c-1)。 【範例】延續 3×4 表：df = (3-1)(4-1) = 2×3 = 6。 計算 χ²（部分格）： χ²(前,大一) = (30-24.375)²/24.375 = (5.625)²/24.375 = 31.64/24.375 ≈ 1.298 χ²(中,大一) = (25-32.5)²/32.5 = (-7.5)²/32.5 = 56.25/32.5 ≈ 1.731 χ²(後,大四) = (0-4.375)²/4.375 = 19.14/4.375 ≈ 4.375 ... 把所有 12 格加總得到 χ² ≈ 15.2（舉例用的近似值）。 考試技巧：(O-E)² 展開後不要和 O²-E² 搞混。另外，χ² 永遠 ≥ 0（因為是平方和），所以只有右尾拒絕域。
- χ² = Σ (O-E)²/E，每格算一項然後全部加總
- df = (r-1)(c-1)，不是 r·c，也不是 r·c-1
- χ² ≥ 0 永遠成立，越大越不像獨立 → 只有右尾拒絕域
- 3×4 表有 12 格但 df=6，因為邊際限制用掉了 6 個自由度
- (O-E)² 的「-E」是先減再平方，不是分別平方再減
4.決策、結論與注意事項
查 χ²(df) 的臨界值表或 p 值。如果 χ² > χ²_α(df)，拒絕 H0（有關聯）；否則不拒絕。 【範例】χ²≈15.2, df=6, α=0.05。 查表：χ²_0.05(6) = 12.592。 15.2 > 12.592 → 拒絕 H0。 結論：在 5% 顯著水準下，有統計證據顯示座位偏好與年級之間存在關聯。 不能說：「年級導致座位偏好不同」（因果）。 不能說：「大四學生不坐後排」（這是描述個別格子，不是檢定的結論）。 【Goodness-of-fit 變體】卡方檢定還有另一種用法——適合度檢定 (goodness-of-fit)。這時只有一個變數 k 個類別，H0 指定一個理論分佈（例如「均勻分佈」或「某特定比例」），df = k-1。公式一樣是 Σ(O-E)²/E，差別只在 E 的來源和 df。 【考試重要區分】 獨立性檢定：兩個變數，r×c 表，df=(r-1)(c-1) 適合度檢定：一個變數，k 個類別，df=k-1 兩者公式相同但 df 不同——看清題目問的是「兩變數有沒有關」還是「分佈合不合理」。
- χ² > χ²_α(df) 拒絕 H0 → 「有顯著關聯」，反之「沒有足夠證據」
- 結論措辭：只說關聯 (association)，不說因果 (causation)
- 獨立性 df = (r-1)(c-1)，適合度 df = k-1，公式相同但 df 不同
- 期望次數 < 5 的格子超過 20% 時，χ² 近似不可靠，考慮合併或 Fisher 法
- χ² 只告訴你「有沒有關聯」，不告訴你「多強」或「方向」——需要看殘差或效果量
一起拆計算
範例 1：2×3 列聯表，N=120。觀察值： A B C 男 20 30 10 (60) 女 15 10 35 (60) (35) (40) (45) (120) α=0.05，檢定性別和偏好是否獨立。
- H0: 性別和偏好獨立 H1: 不獨立
- 期望值：E(男,A) = 60·35/120 = 17.5, E(男,B) = 60·40/120 = 20, E(男,C) = 60·45/120 = 22.5
- E(女,A) = 17.5, E(女,B) = 20, E(女,C) = 22.5
- χ² = (20-17.5)²/17.5 + (30-20)²/20 + (10-22.5)²/22.5 + (15-17.5)²/17.5 + (10-20)²/20 + (35-22.5)²/22.5
- = 0.357 + 5.000 + 6.944 + 0.357 + 5.000 + 6.944 = 24.602
- df = (2-1)(3-1) = 2
- χ²_0.05(2) = 5.991。24.602 >> 5.991 → 拒絕 H0
- 結論：有強烈統計證據顯示性別和偏好之間存在關聯。
所以答案是：χ²=24.6, df=2, 遠大於臨界值 5.991，拒絕獨立假設。
範例 2：適合度檢定：某骰子擲 120 次，O = {25, 17, 22, 18, 20, 18}。H0: 公平骰（各面 1/6）。α=0.05。
- E = 120/6 = 20 for each face
- χ² = (25-20)²/20 + (17-20)²/20 + (22-20)²/20 + (18-20)²/20 + (20-20)²/20 + (18-20)²/20
- = 25/20 + 9/20 + 4/20 + 4/20 + 0/20 + 4/20 = 46/20 = 2.3
- df = 6-1 = 5（適合度用 k-1）
- χ²_0.05(5) = 11.07。2.3 < 11.07 → 不拒絕 H0
- 結論：沒有足夠證據認為骰子不公平。
所以答案是：χ²=2.3, df=5, 不拒絕 H0。數據與公平骰一致。
這裡最容易算錯
- 以觀察值代替期望值當分母：是 (O-E)²/E 不是 (O-E)²/O
- 自由度用 r·c 或 r·c-1：獨立性是 (r-1)(c-1)，適合度是 k-1
- 拒絕獨立就宣稱因果：只能說「有關聯」
- 搞混獨立性檢定和適合度檢定：前者兩個變數、後者一個變數
- 期望值不是整數就四捨五入：保留小數點，最後算 χ² 才準確
換你快速判斷
先口述定義、條件與下一步，再展開答案；公式不是取代條件檢查的捷徑。
1獨立性下某格期望次數？
列合計×欄合計÷總數
算完應恢復原列欄合計。
2卡方獨立性檢定使用比例還是計數？
以列聯表計數為輸入
期望次數也是 count。
3Pearson χ² 統計量？
Σ(O-E)²/E
每格差距依期望次數標準化。
4r×c 列聯表自由度？
(r-1)(c-1)
不是 rc。
最後用考古題自評
請先在紙上完成推導，再依非官方解析與逐項自評標準檢查；本流程不產生虛假的 A–E 分數。
開始本課考古題自評參考來源
- 115 學年度台大資管所招生筆試原卷 — 國立臺灣大學
- OpenIntro Statistics, Fourth Edition — Diez, Barr, Cetinkaya-Rundel
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — NIST/SEMATECH