把聯合機率表搬到新座標
題面來自台大官方試卷；解答與逐項自評標準（rubric）為本站技術覆核的非官方內容，申論與推導一律採自評。
第一次接觸也沒關係
這堂先懂這些詞
先記住白話意思，不必急著背英文。看到正文時，再把正式名稱接回來。
聯合機率質量函數
也會看到：joint PMF、joint probability mass function、p(X=x,Y=y)聯合 PMF 列出兩個離散變數每一組可能配對的機率；PMF 逐字母讀作「P-M-F」，p(X=x,Y=y) 讀作「X 等於 x 且 Y 等於 y 的機率」。
- 生活例子：
- 同時記錄擲兩顆骰子的點數，表格每一格就是某一對點數一起出現的機率。
- 別搞混：
- 聯合 PMF 用於可逐項列舉的離散結果；連續資料要談密度，單一點的機率通常為 0。
可能值集合
也會看到：support、sample support、possible-value setsupport 是隨機變數真正可能取到且需要納入計算的所有值或座標集合。
- 生活例子：
- 一顆六面骰子的 support 是 1 到 6，不包含 0 或 7。
- 別搞混：
- support 不是目前樣本中剛好看見的值，而是模型允許出現的完整可能範圍。
正規化常數
也會看到：normalizing constant、normalization constant、c、1/c正規化常數是把原始權重換成總和為 1 的機率所需的縮放數；c 讀作英文字母「c」，題目可能用除以 c 或乘上 c，須依公式判讀。
- 生活例子：
- 籃子裡各色票共有 12 張，每色張數除以 12 後才是抽到該色的機率。
- 別搞混：
- 若權重總和為 12，以「權重/c」表示時 c=12，以「c×權重」表示時則 c=1/12，不能只背固定答案。
映射、像點與原像
也會看到：mapping、image、preimage、transformation、Y=g(X)映射是依規則把舊值換成新值，像點是換完後的位置，原像則是所有會被換到該位置的舊值；Y=g(X) 讀作「Y 等於 g 作用在 X」。
- 生活例子：
- 把不同郵遞區號分到同一行政區時，行政區是像點，所有屬於它的郵遞區號是原像。
- 別搞混：
- 多個舊值可映到同一新值，此時新值的機率要把所有原像機率相加。
邊際機率質量函數
也會看到：marginal PMF、marginal distribution、marginalization、邊際化、Σy p(x,y)邊際 PMF 是只關心其中一個變數時，把另一個變數所有可能值的聯合機率加總；Σy p(x,y) 讀作「對所有 y，把 p(x,y) 加總」。
- 生活例子：
- 表格同時記錄時段與商品，若只想知道各商品總銷量，就把每個商品跨所有時段的格子加起來。
- 別搞混：
- 加總時要固定想保留的變數並消去另一維，方向弄反會得到不同邊際分配。
逐項自評標準
也會看到：rubric、評分規準把完整推導拆成可以逐步核對的要點，幫你找到漏掉的條件或計算步驟。
- 生活例子：
- 像算完帳後依序檢查金額、單位、公式與最後結論。
- 別搞混：
- 它不是官方配分，也不會把合理但不同的推導方式判成錯誤。
用 115-3 練習正規化、離散變數轉換、合併重複像點與邊際化。
先抓住這幾件事
- 從聯合機率表讀出 joint、marginal、conditional PMF
- 由 support 權重求正規化常數 c 使總機率為 1
- 逐點完成離散變數轉換，正確處理多對一映射（合併 preimage）
- 由聯合 PMF 加總出邊際 PMF，並計算條件 PMF
先想像這個場景
抽獎券換籃子
每個舊格放著不同張數的抽獎券，新規則會把它們搬到標有 Y1、Y2 的籃子。
先別急著套公式，花十秒想一想：
兩個舊格搬到同一個新籃子時，機率應如何處理？
把故事換成統計語言
| 生活中的角色 | 對應到 | 統計概念 |
|---|---|---|
| 舊格子的票數 | 未正規化權重 | |
| 全部票數 | normalizing constant c | |
| 依新標籤搬票 | 變數轉換 mapping | |
| 同籃票數相加 | preimage probabilities sum |
題目出現這些字，先想到
- joint PMF
- support
- normalizing constant
- marginal
1.聯合 PMF：兩變數同時取值的機率表
聯合機率質量函數 (Joint PMF) p(x,y) = P(X=x, Y=y) 描述兩個離散隨機變數同時取某組值的機率。把所有 (x,y) 組合的機率列成表格，就是聯合機率表。表中所有格子的機率總和必為 1。 邊際 PMF (Marginal PMF) 是從聯合表中「壓縮」掉一個維度：p_X(x) = Σ_y p(x,y)，也就是把 X=x 那一列（或一行）的所有機率加起來。直覺上，這就是「不管 Y 取什麼值，X=x 的整體機率是多少」。 條件 PMF 則是「在已知 Y=y 的前提下，X 的分佈」：P(X=x|Y=y) = p(x,y)/p_Y(y)。分母是 Y=y 的邊際機率。 【範例】班級程式能力 X∈{0,1,2} 和統計能力 Y∈{0,1}： Y=0 Y=1 p_X(x) X=0 0.10 0.20 0.30 X=1 0.15 0.25 0.40 X=2 0.20 0.10 0.30 p_Y(y) 0.45 0.55 1.00 讀表：P(X=1,Y=1)=0.25（聯合）；P(X=1)=0.15+0.25=0.40（邊際）；P(X=1|Y=1)=0.25/0.55≈0.4545（條件）。 考試陷阱：邊際是加總（不管另一變數），條件是除法（固定另一變數）。看到「given Y=1」就是條件；看到「不論 Y 為何」就是邊際。
- Joint PMF: p(x,y) = P(X=x, Y=y)，所有 (x,y) 的機率加總 = 1
- Marginal PMF: p_X(x) = Σ_y p(x,y)，把不關心的變數「加總掉」
- Conditional PMF: P(X=x|Y=y) = p(x,y)/p_Y(y)，分母是邊際不是聯合
- 獨立性判定：X⊥Y 若且唯若 p(x,y) = p_X(x)·p_Y(y) 對所有 (x,y) 成立
- 表格最後一行/一列就是邊際 PMF，可以用來快速驗算
2.正規化：讓權重變成機率
有時題目不直接給機率，而是給「權重」或「未正規化的 PMF」，例如 f(x,y) = c·g(x,y)，要求先找 c 使得所有格子加總為 1。 方法很直接：Σ_x Σ_y g(x,y) = S（先加總所有權重），然後 c = 1/S。每格的機率就是 g(x,y)/S。 【範例】某二維分佈的權重為： Y=0 Y=1 X=0 2 3 X=1 4 1 X=2 1 1 總權重 S = 2+3+4+1+1+1 = 12，所以 c = 1/12。 P(X=0,Y=0) = 2/12 = 1/6 P(X=1,Y=0) = 4/12 = 1/3 驗算：所有格子 = (2+3+4+1+1+1)/12 = 12/12 = 1 ✓ 考試陷阱：有些題目的 support（X 和 Y 可能的取值範圍）不明顯，需要先確認 g(x,y)>0 的範圍。support 外的點機率為 0，不要列入計算。如果 g(x,y) 是公式而非表格（例如 g(x,y)=x+y），要先列出所有 (x,y) 點，才不會漏。
- 正規化：c = 1/Σ_all g(x,y)，使得 Σ c·g(x,y) = 1
- support 外的點機率 = 0，只對 g(x,y)>0 的 (x,y) 加總
- 如果 g 是公式，先列出所有合法 (x,y) 組合再加總
- 正規化後立刻驗算總和是否為 1，避免算錯帶到後面
- 正規化常數 c 通常是一個分數（如 1/12），不是整數
3.離散變數轉換：逐點映射與合併
離散變數轉換是把 (X,Y) 透過函數 (Y1,Y2)=(g1(X,Y), g2(X,Y)) 映射到新座標。步驟： 第一步：對每個原始 support 點 (x,y)，算出對應的 (y1,y2) = (g1(x,y), g2(x,y))。 第二步：如果兩個不同的 (x,y) 映射到同一個 (y1,y2)（多對一），把它們的機率相加。這叫做「合併 preimage」。 第三步：寫出新的 Joint PMF p_{Y1,Y2}(y1,y2)。 【範例】X∈{1,2,3}, Y∈{0,1}，定義 Y1=X+Y, Y2=X-Y。 原始 (X,Y) → (Y1,Y2): (1,0) → (1,1) 機率 a (1,1) → (2,0) 機率 b (2,0) → (2,2) 機率 c (2,1) → (3,1) 機率 d (3,0) → (3,3) 機率 e (3,1) → (4,2) 機率 f 這個例子中每個 (y1,y2) 都只有一個 preimage，所以機率直接搬過去。但如果 (1,1) 和 (2,0) 都映到同一個 (y1,y2)，就要把 b 和 c 加起來。 考試陷阱：最常犯的錯是漏掉某個 preimage 點。建議用表格列出所有 (x,y) 對應的 (y1,y2)，不要跳步。
- 步驟：列所有 (x,y) → 算 (y1,y2) → 合併同一個 (y1,y2) 的機率
- 多對一映射：不同 (x,y) 映到同一 (y1,y2) 時機率要相加
- 一對一映射：每個新點只有一個 preimage，機率直接搬
- 轉換後的新 PMF 總和仍然 = 1（只是重新分配，總量不變）
- 用表格逐點列出映射關係，比在腦中算安全得多
4.邊際化與獨立性檢驗
拿到新的 Joint PMF p_{Y1,Y2}(y1,y2) 後，常見的後續操作是： (1) 求邊際：p_{Y1}(y1) = Σ_{y2} p_{Y1,Y2}(y1,y2)。把 Y2 加總掉，得到 Y1 單獨的分佈。 (2) 檢驗獨立性：如果對每一組 (y1,y2)，p(y1,y2) = p_{Y1}(y1)·p_{Y2}(y2) 都成立，則 Y1⊥Y2。只要找到一組不等，就是不獨立。 【範例】延續上面的表： Y2=0 Y2=1 Y2=2 Y2=3 p_{Y1} Y1=1 0 a 0 0 a Y1=2 b 0 c 0 b+c Y1=3 0 d 0 e d+e Y1=4 0 0 f 0 f p_{Y2} b a+d c+f e 1 檢驗：p(Y1=1,Y2=1) = a，p_{Y1}(1)·p_{Y2}(1) = a·(a+d)。 只有 d=0 時才相等。如果 d≠0，Y1 和 Y2 不獨立。 考試技巧：不需要驗每一格。找最容易算的格子（最好有 0 的），如果 p(y1,y2)=0 但 p_{Y1}(y1)>0 且 p_{Y2}(y2)>0，立刻判定不獨立。一個反例就夠了。 最後檢查：邊際 PMF 的總和必須是 1。如果加起來不是 1，代表前面某步算錯了。
- 邊際化：固定 Y1，對 Y2 的所有可能值加總（反之亦然）
- 獨立性：需要對所有 (y1,y2) 都成立 p(y1,y2)=p_{Y1}(y1)·p_{Y2}(y2)
- 快速反證：找一格 p(y1,y2)=0 但兩個邊際都 >0 → 不獨立
- 邊際 PMF 的總和必為 1，可當作最終驗算
- 條件分佈 P(Y1|Y2=y2) = p(y1,y2)/p_{Y2}(y2)，分母是邊際機率
一起拆計算
範例 1：Joint 權重表（6 個 support 點）：(1,1)→2, (1,2)→1, (2,1)→3, (2,2)→4, (3,1)→1, (3,2)→1。求正規化常數、P(X=2)、P(X=2|Y=1)。
- 總權重 S = 2+1+3+4+1+1 = 12，c = 1/12
- 正規化：P(1,1)=2/12, P(1,2)=1/12, P(2,1)=3/12, P(2,2)=4/12, P(3,1)=1/12, P(3,2)=1/12
- P(X=2) = P(2,1)+P(2,2) = 3/12+4/12 = 7/12（邊際：加總 Y）
- P(Y=1) = P(1,1)+P(2,1)+P(3,1) = 2/12+3/12+1/12 = 6/12 = 1/2
- P(X=2|Y=1) = P(2,1)/P(Y=1) = (3/12)/(1/2) = (1/4)/(1/2) = 1/2
所以答案是：c=1/12, P(X=2)=7/12, P(X=2|Y=1)=1/2
範例 2：定義 Y1=X+Y, Y2=XY。原始 support：(1,0), (1,1), (2,0), (2,1)，各機率 1/4。寫出 Y1,Y2 的 Joint PMF。
- (1,0)→(Y1=1,Y2=0), p=1/4
- (1,1)→(Y1=2,Y2=1), p=1/4
- (2,0)→(Y1=2,Y2=0), p=1/4
- (2,1)→(Y1=3,Y2=2), p=1/4
- Y1=2 有兩個 preimage 但映到不同 Y2（Y2=1 和 Y2=0），所以不需合併
- Joint PMF: p(1,0)=1/4, p(2,0)=1/4, p(2,1)=1/4, p(3,2)=1/4
所以答案是：4 個 support 點各 1/4，無合併發生
這裡最容易算錯
- 漏列 support 點：先完整列出所有 (x,y) 再做轉換
- 多對一時忘記合併機率：同一個 (y1,y2) 出現兩次要加總
- 邊際化時加錯維度：固定 X 就對 Y 加總，不是反過來
- 搞混邊際和條件：邊際是加總（Σ），條件是除法（÷ 邊際機率）
- 正規化後忘記驗算總和 = 1
換你快速判斷
先口述定義、條件與下一步，再展開答案；公式不是取代條件檢查的捷徑。
1未正規化權重如何變成 PMF？
每個權重除以權重總和
最後總機率必須為 1。
2由 joint PMF 求 Y1 marginal？
固定 Y1，對所有 Y2 加總
加總方向由要保留的變數決定。
3多個舊點映到同一新點時？
把所有 preimage 的機率相加
不能只保留其中一點。
4離散轉換完成後最基本檢查？
新 support 的機率總和為 1
也要確認沒有遺漏舊 support。
最後用考古題自評
請先在紙上完成推導，再依非官方解析與逐項自評標準檢查；本流程不產生虛假的 A–E 分數。
開始本課考古題自評參考來源
- 115 學年度台大資管所招生筆試原卷 — 國立臺灣大學
- OpenIntro Statistics, Fourth Edition — Diez, Barr, Cetinkaya-Rundel
- STAT 414: Introduction to Probability Theory — Penn State Department of Statistics