先備：把平均與波動拆開看
題面來自台大官方試卷；解答與逐項自評標準（rubric）為本站技術覆核的非官方內容，申論與推導一律採自評。
考古題證據邊界： 這是必要先備課，不宣稱由 114–115 的某一題直接完整覆蓋。
第一次接觸也沒關係
這堂先懂這些詞
先記住白話意思，不必急著背英文。看到正文時，再把正式名稱接回來。
期望值
也會看到：expected value、expectation、E(X)、μ、mu期望值是把每個可能結果乘上其機率後加總的長期平均；E(X) 讀作「X 的期望值」，μ 讀作「mu／繆」，常用來代表母體平均。
- 生活例子：
- 一張彩券有不同獎金與中獎機率，把每種獎金乘上機率再相加，就是每買一張長期平均可拿回的金額。
- 別搞混：
- 期望值不一定是實際可能出現的結果，也不是只做一次就一定會拿到的數字。
變異數
也會看到：variance、Var(X)、σ²、sigma squared變異數把每個值離平均的距離平方後取平均，用來表示資料有多分散；Var(X) 讀作「X 的變異數」，σ² 讀作「sigma 平方」。
- 生活例子：
- 兩班平均都考 70 分，但一班都在 65 至 75 分，另一班從 30 到 100 分，後一班的變異數較大。
- 別搞混：
- 變異數的單位會被平方，因此不能直接把它當成原資料的典型差距。
標準差
也會看到：standard deviation、SD、σ、sigma、sqrt(Var(X))標準差是變異數開根號後的分散程度；σ 讀作「sigma」，與原資料使用相同單位。
- 生活例子：
- 體重的標準差若是 3 公斤，可以直覺理解成讀值通常在平均附近相差幾公斤。
- 別搞混：
- 標準差不是變異數本身，σ 與 σ² 分別代表標準差與變異數。
共變異數
也會看到：covariance、Cov(X,Y)、cov共變異數描述兩個變數是否傾向一起高或一起低；Cov(X,Y) 讀作「X 與 Y 的共變異數」。
- 生活例子：
- 天氣越熱時冷飲銷量通常越高，溫度與冷飲銷量會呈現正的共變異數。
- 別搞混：
- 共變異數為 0 不一定代表兩變數完全獨立，而且數值大小會受單位影響。
獨立同分布
也會看到：iid、i.i.d.、independent and identically distributed獨立同分布表示每筆觀察彼此不影響，且都由同一套機率規則產生；iid 逐字母讀作「i-i-d」。
- 生活例子：
- 每次都把公平硬幣重新拋一次，前一次結果不影響下一次，而且每次正面機率都相同。
- 別搞混：
- 只要分布相同不代表獨立，只要獨立也不代表每筆資料的分布相同。
逐項自評標準
也會看到：rubric、評分規準把完整推導拆成可以逐步核對的要點，幫你找到漏掉的條件或計算步驟。
- 生活例子：
- 像算完帳後依序檢查金額、單位、公式與最後結論。
- 別搞混：
- 它不是官方配分，也不會把合理但不同的推導方式判成錯誤。
先建立期望值、變異數、線性組合與獨立性的運算骨架，供 PMF 與估計量課使用。
先抓住這幾件事
- 用 PMF 計算離散隨機變數的期望值 E[X]
- 用定義式和簡便式計算變異數 Var(X)，並說明兩者何時用
- 推導線性轉換 E(aX+b) 和 Var(aX+b) 的結果
- 判斷兩變數獨立時 Var(X+Y) 的計算方式，以及不獨立時需加入什麼項
先想像這個場景
多次量體溫的讀數
同一支溫度計每次讀值略有不同；中心位置與晃動程度是兩件事。
先別急著套公式，花十秒想一想：
若把兩次讀數相加，中心與波動會如何改變？
把故事換成統計語言
| 生活中的角色 | 對應到 | 統計概念 |
|---|---|---|
| 長期平均讀數 | 期望值 E(Y) | |
| 讀值上下晃動 | 變異數 Var(Y) | |
| 把讀數乘倍率 | Var(aY)=a²Var(Y) | |
| 兩次誤差互不影響 | 獨立時 covariance 為 0 |
題目出現這些字，先想到
- E(aX+b)
- Var(aX)
- independent sample
- σ²
1.期望值：依機率加權的長期平均
期望值 (expected value) E[X] 是隨機變數 X 所有可能值的加權平均，權重就是各值出現的機率。離散型公式：E[X] = Σ_x x · P(X=x)。直覺上，如果你把實驗重複無限次，把每次結果記錄下來取平均，那個平均值就趨近 E[X]。 【範例】一顆不公平的骰子，P(X=1)=0.1, P(X=2)=0.2, P(X=3)=0.3, P(X=4)=0.2, P(X=5)=0.1, P(X=6)=0.1。 E[X] = 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.2) + 5(0.1) + 6(0.1) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 0.8 + 0.5 + 0.6 = 3.3 注意 E[X]=3.3 不是 X 可能取到的值（骰子沒有 3.3 點），它是一個加權位置指標。期望值的核心性質是線性性：E[aX+b] = aE[X]+b，不需要知道分佈形狀就成立。 考試陷阱：E[X²] ≠ (E[X])²。這個不等式正是變異數存在的原因（見下一節）。如果題目問 E[g(X)]，你不能把 g 直接套在 E[X] 上，必須回到 Σ g(x)·P(X=x)。
- E[X] = Σ_x x · P(X=x)，權重是機率，所有機率必須加總為 1
- E[X] 不一定是 X 的可能取值，例如公平骰子 E[X]=3.5
- 線性性：E[aX+b] = aE[X]+b，對任何分佈都成立，不需獨立假設
- E[X+Y] = E[X]+E[Y] 永遠成立（不需獨立），但 E[XY] = E[X]E[Y] 只在獨立時成立
- E[g(X)] ≠ g(E[X])，除非 g 是線性函數
2.變異數：衡量離中心的平方距離
變異數 (variance) 量化 X 偏離期望值的程度：Var(X) = E[(X - E[X])²]。展開後得到簡便公式：Var(X) = E[X²] - (E[X])²。兩個公式數學上等價，但簡便式在計算時通常更快，因為你只需要分別算 E[X²] 和 E[X]。 【範例】延續上面的骰子，E[X]=3.3。 E[X²] = 1²(0.1) + 2²(0.2) + 3²(0.3) + 4²(0.2) + 5²(0.1) + 6²(0.1) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 3.2 + 2.5 + 3.6 = 12.9 Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 12.9 - (3.3)² = 12.9 - 10.89 = 2.01 標準差 SD(X) = √Var(X) = √2.01 ≈ 1.418，和 X 同單位（點數）。變異數的單位是原單位的平方，所以「方差 2.01 點²」在實際解讀時不直觀，通常報告標準差。 線性轉換：Var(aX+b) = a²Var(X)。注意加常數 b 不影響波動（所有值同移），但乘以 a 會讓波動放大 a² 倍。考試最常考的錯誤就是寫成 Var(aX) = aVar(X)，漏掉平方。
- 定義式 Var(X) = E[(X-μ)²]，簡便式 Var(X) = E[X²] - (E[X])²，兩者等價
- Var(X) ≥ 0 永遠成立；Var(X)=0 表示 X 是常數（不隨機）
- Var(aX+b) = a²Var(X)：加常數不改變波動，乘係數要平方
- 標準差 SD = √Var，與原變數同單位，比變異數更直觀
- 計算時先分別求 E[X] 和 E[X²]，再用簡便式，比定義式少一步減法
3.兩變數相加：什麼時候變異數直接加？
兩個隨機變數的和 X+Y 的變異數有通用公式：Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)。共變異數 Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] 衡量 X 和 Y 是否「一起動」。如果 Cov>0，X 大時 Y 也傾向大（同向），波動會被放大；Cov<0 則波動被抵消。 當 X 和 Y 獨立時，Cov(X,Y)=0，所以 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)，波動直接相加。但要特別注意：Cov=0 不一定代表獨立（獨立 → Cov=0，反過來不一定）。 【範例】Y1, Y2 是 iid（獨立同分布），E[Yi]=μ, Var(Yi)=σ²。 樣本平均 Ȳ = (Y1+Y2)/2。 E[Ȳ] = (E[Y1]+E[Y2])/2 = (μ+μ)/2 = μ（不偏） Var(Ȳ) = Var((Y1+Y2)/2) = (1/2)²·Var(Y1+Y2) = (1/4)·(σ²+σ²) = σ²/2 推廣到 n 個 iid 觀測值：Var(Ȳ) = σ²/n。這就是為什麼增加樣本數能降低估計的不確定性——分母是 n。 考試陷阱：Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)（獨立時），注意是加不是減。因為 Var(-Y) = (-1)²Var(Y) = Var(Y)。很多學生會直覺寫成減法。
- 通用公式：Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
- 獨立 → Cov=0 → 變異數直接相加，但 Cov=0 不一定獨立
- iid 樣本平均：Var(Ȳ) = σ²/n，樣本越大估計越穩定
- Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)（獨立時），是加不是減！
- Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]，可看成「乘積期望」減「期望乘積」
4.計算流程與檢查清單
面對期望值和變異數的計算題，建議用以下步驟避免出錯： 第一步：確認隨機變數的 support（可能取值）和對應機率，檢查機率總和是否為 1。如果題目給的是權重而非機率，先正規化（除以總和）。 第二步：決定要算什麼。如果目標是 E[g(X)]，列出每個 x 對應的 g(x)·P(X=x) 再加總。如果目標是 Var(X)，分別算 E[X] 和 E[X²]，用簡便式 E[X²]-(E[X])²。 第三步：處理線性組合。把目標表達式拆成 aX+bY+c 的形式，先處理期望值（直接線性展開），再處理變異數（注意係數要平方、確認獨立性才能省略 Cov 項）。 第四步：檢查答案的合理性。Var 不能是負的（如果算出負數，一定算錯了）。E[X] 應該落在 X 的 support 範圍內。標準差的單位和 X 一樣。 【快速驗算】如果 X 只取兩個值 a 和 b，P(X=a)=p，P(X=b)=1-p，那 E[X]=pa+b(1-p)，Var(X)=p(1-p)(a-b)²。這個特例很適合拿來驗算 Bernoulli。
- 步驟一：確認 support、機率列表、Σp=1
- 步驟二：E[X] 和 E[X²] 分開算，最後用簡便式求 Var
- 步驟三：線性組合先拆 aX+bY+c，期望值直接展開，變異數係數要平方
- 步驟四：Var ≥ 0、E[X] 在 support 範圍內、SD 與 X 同單位
- Bernoulli 速算：E[X]=p, Var(X)=p(1-p)，可當成快速驗算工具
一起拆計算
範例 1：X 的 PMF：P(X=0)=0.3, P(X=1)=0.5, P(X=2)=0.2。求 E[X], Var(X), E[3X+2], Var(3X+2)。
- E[X] = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9
- E[X²] = 0²(0.3) + 1²(0.5) + 2²(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3
- Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1.3 - 0.81 = 0.49
- E[3X+2] = 3(0.9) + 2 = 4.7（線性性）
- Var(3X+2) = 3²·Var(X) = 9(0.49) = 4.41（加常數不影響變異數）
所以答案是：E[X]=0.9, Var(X)=0.49, E[3X+2]=4.7, Var(3X+2)=4.41
範例 2：Y1, Y2, Y3 iid，E[Yi]=10, Var(Yi)=4。求 Var(Ȳ) 和 Var(Y1-Y2)。
- Ȳ = (Y1+Y2+Y3)/3
- Var(Ȳ) = (1/3)²·(Var(Y1)+Var(Y2)+Var(Y3)) = (1/9)·(4+4+4) = 12/9 = 4/3 ≈ 1.333
- Var(Y1-Y2) = Var(Y1) + (-1)²Var(Y2) = 4+4 = 8（獨立，是加不是減）
所以答案是：Var(Ȳ) = 4/3, Var(Y1-Y2) = 8
這裡最容易算錯
- 把 Var(aX) 寫成 aVar(X)，漏掉平方：正確是 a²Var(X)
- 未確認獨立就直接加變異數：不獨立時要加 2Cov(X,Y) 項
- 把標準差和變異數混用：σ 是標準差，σ² 是變異數
- 算 E[X²] 時把指數寫在機率上：正確是 Σ x²·P(x)，不是 Σ x·P(x)²
- Var(X-Y) 寫成 Var(X)-Var(Y)：獨立時正確答案是 Var(X)+Var(Y)
換你快速判斷
先口述定義、條件與下一步，再展開答案；公式不是取代條件檢查的捷徑。
1E(aX+b) 等於？
aE(X)+b
期望值具線性性，不需要獨立。
2Var(aX) 等於？
a²Var(X)
變異數使用倍率平方。
先完成必要先備
這堂是解歷屆題前的基礎補充，不會為了湊題數硬連不存在的考古題。完成後可回題庫辨識題型。
瀏覽統計學題庫參考來源
- OpenIntro Statistics, Fourth Edition — Diez, Barr, Cetinkaya-Rundel
- STAT 414: Introduction to Probability Theory — Penn State Department of Statistics